Temel Finans Matematiği ve Değerleme Yöntemleri

Eşit Olmayan Seri Nakit Akışlarında Zaman Değeri

Eşit Olmayan Seri Nakit Akışlarında Zaman Değeri

Finans matematiğinde tek bir nakit akışını çözmek görece kolaydır. Ancak gerçek hayatta ödemeler ve tahsilatlar çoğu zaman birden fazla döneme yayılır ve üstelik her dönem aynı tutarda olmayabilir. İşte bu tür durumlarda eşit olmayan seri nakit akışları ile karşılaşılır. Bu bölümde farklı dönemlerde ortaya çıkan farklı tutarlı nakit akışlarının gelecekteki değeri ve bugünkü değeri ele alınacaktır. Konunun özü şudur: her bir nakit akışı kendi dönemine göre ayrı ayrı işlem görür, sonra ortak tarihte toplanır.

1) Eşit Olmayan Seri Nakit Akışı Nedir?

Eşit olmayan seri nakit akışları, birden fazla dönemde gerçekleşen ancak dönemler itibarıyla birbirinden farklı tutarlara sahip ödeme veya tahsilatlardır. Örneğin birinci ay 400 TL, ikinci ay 550 TL, üçüncü ay 600 TL tasarruf edilmesi bu yapıya örnektir.

Burada kritik nokta şudur: Bu nakit akışları seri halindedir, yani birden fazla döneme yayılmıştır; fakat anüite değildir. Çünkü anüitede dönemsel ödemeler eşit tutarlıdır. Bu bölümde ise her dönem farklı bir nakit akışı söz konusudur.

2) Temel Mantık: Ortak Tarihte Buluşturma

Eşit olmayan seri nakit akışlarında bütün tutarlar doğrudan toplanamaz. Çünkü farklı tarihlerde gerçekleşen paralar aynı ekonomik değere sahip değildir. Önce bütün nakit akışlarının aynı tarihe taşınması gerekir.

Bu ortak tarih iki şekilde seçilebilir:

• Gelecekteki bir tarih seçilirse: her nakit akışı bu tarihe kadar biriktirilir.
• Bugün seçilirse: her nakit akışı bugüne iskonto edilir.

Bu yüzden bu bölümün özeti aslında şudur: Her nakit akışını kendi yerine göre ayrı ayrı taşı, sonra topla.

3) Çoklu Nakit Akışlarının Gelecekteki Değeri

Birden fazla ve farklı tutarlı nakit akışının gelecekteki değeri hesaplanırken, her bir nakit akışı hedef tarihe kadar ayrı ayrı bileşik faiz mantığıyla büyütülür. Daha sonra hepsi toplanır.

Örneğin 3 dönemlik bir seride:

Genel toplam sembolik olarak:

Burada:

• NA_t = t dönemindeki nakit akışı
• r = dönemsel faiz oranı
• n = hedef alınan son dönem

4) Gelecekteki Değerin Mantığı

Erken gelen para daha uzun süre faiz işler, geç gelen para daha kısa süre faiz işler. Bu nedenle ilk dönem nakit akışının üssü daha büyük, son dönem nakit akışının üssü daha küçüktür.

Son dönemde gerçekleşen bir nakit akışı hedef tarihte zaten hazır bulunduğu için ayrıca faiz işlemez ve üssü sıfır olur.

5) Çoklu Nakit Akışlarının Gelecekteki Değeri Örneği

Bir yatırımcı 3 ay boyunca sırasıyla 400 TL, 550 TL ve 600 TL tasarruf etmektedir. Aylık getiri oranı %4 ise 3. ay sonundaki toplam birikim ne olur?

Demek ki farklı tutarlı üç tasarrufun 3. ay sonundaki toplam değeri 1.604,64 TL'dir.

6) Çoklu Nakit Akışlarının Bugünkü Değeri

Eğer birden fazla ve farklı tutarlı gelecekteki nakit akışının bugünkü değerini bulmak istiyorsak, bu kez her nakit akışını kendi vadesine göre bugüne indirgeriz. Sonra bütün bugünkü değerleri toplarız.

Genel biçim:

Bu yapı, her dönemdeki gelecekteki nakit akışının bugün itibarıyla ne kadar değer taşıdığını gösterir.

7) Bugünkü Değerin Mantığı

Gelecekte daha geç elde edilecek para daha fazla iskonto edilir. Çünkü bugüne daha uzun mesafeden gelir. Bu nedenle ileri dönemlerdeki nakit akışlarının bugünkü katkısı görece daha düşüktür.

Başka bir ifadeyle:

• Yakın dönemdeki nakit akışları bugünkü değere daha fazla katkı yapar.
• Uzak dönemdeki nakit akışları bugünkü değere daha az katkı yapar.

8) Çoklu Nakit Akışlarının Bugünkü Değeri Örneği

Bir kişi gelecek 3 ay boyunca sırasıyla 100 TL, 150 TL ve 125 TL ödeme yapmayı taahhüt etmektedir. Aylık iskonto oranı %4 ise bu ödeme serisinin bugünkü değeri nedir?

Bu sonuç, gelecekteki üç farklı ödemenin bugün itibarıyla toplam değerini gösterir.

9) Ayrı Ayrı İndirgeme ve Biriktirme Mantığı

Eşit olmayan seri nakit akışlarında tek bir toplu formül ezberlemekten çok, mantığı anlamak daha değerlidir:

• Her nakit akışı kendi gerçekleşme tarihine sahiptir.
• Her biri hedef tarihe göre ayrı ayrı taşınır.
• Ortak tarihe ulaştıktan sonra toplam alınır.

Bu mantık kurulduğunda tablo, sözlü anlatım veya uzun metinli sorular çok daha kolay çözülür.

10) Zaman Ekseni ile Çözüm Tekniği

Sınavda en güvenli çözüm yolu zaman ekseni çizmektir. Özellikle 3 veya daha fazla dönemli sorularda hangi tutarın kaç dönem faiz işleyeceği ya da kaç dönem iskonto edileceği zaman ekseni ile çok net görülür.

Eğer hedef t=3 ise:

• t=1'deki 400 TL iki dönem taşınır
• t=2'deki 550 TL bir dönem taşınır
• t=3'teki 600 TL hiç taşınmaz

Eğer bugünkü değer aranıyorsa aynı eksende bu kez her nakit akışı bugüne iskonto edilir.

11) Sınav Tipi Kısa Stratejiler

• Önce nakit akışlarının eşit mi farklı mı olduğuna bak.
• Hedef tarih bugünkü tarih mi, son dönem mi, bunu belirle.
• Her nakit akışı için ayrı satır aç.
• Kaç dönem taşınacağını veya indirgeneceğini tek tek yaz.
• En son ortak tarihte hepsini topla.

12) Çözümlü Kısa Örnekler

Örnek 1: 1. yıl sonunda 1.000 TL, 2. yıl sonunda 2.000 TL ve 3. yıl sonunda 3.000 TL elde edilecektir. Yıllık faiz %10 ise 3. yıl sonundaki toplam değer nedir?

Örnek 2: 1. yıl sonunda 1.000 TL, 2. yıl sonunda 2.000 TL ve 3. yıl sonunda 3.000 TL tahsil edilecektir. İskonto oranı %10 ise bugünkü değer nedir?

Örnek 3: Aylık %5 getiri ile 1. ay 500 TL, 2. ay 700 TL yatırılmış olsun. 2. ay sonundaki toplam değer nedir?

Final Özet (Sınavlık)

• Eşit olmayan seri nakit akışları, dönemler itibarıyla farklı tutarlardaki çoklu nakit akışlarıdır.
• Bu yapı anüite değildir; çünkü anüitede dönemsel tutarlar eşittir.
• Gelecekteki değer hesabında her nakit akışı hedef tarihe kadar ayrı ayrı büyütülür.
• Bugünkü değer hesabında her nakit akışı bugüne ayrı ayrı iskonto edilir.
• Genel mantık: önce aynı tarihe taşı, sonra topla.
• Erken gelen para gelecekteki değer hesabında daha fazla büyür.
• Geç gelen para bugünkü değer hesabında daha az iskonto edilir.
• Zaman ekseni çizmek, doğru üs kullanımını kolaylaştırır.
• Sınavda tablo kurmak ve her nakit akışı için ayrı satır açmak çok işe yarar.
• Bu bölümde işlem gücü kadar zaman yerleşimini doğru kurmak da önemlidir.