Temel Finans Matematiği ve Değerleme Yöntemleri

Risk Ölçüleri: Varyans, Standart Sapma ve Risk-Getiri Dengesi

Risk Ölçüleri: Varyans, Standart Sapma ve Risk-Getiri Dengesi

Finansal kararlarda getiri kadar önemli olan ikinci temel kavram risktir. Çünkü aynı beklenen getiriyi sunan iki yatırım aracı, belirsizlik düzeyleri farklıysa yatırımcı için aynı değerde değildir. Bu bölümde riskin ne olduğu, tek bir varlığın riskinin nasıl ölçüldüğü, varyans ve standart sapmanın nasıl kullanıldığı, risk ile getiri arasındaki temel ilişki ve normal dağılım varsayımının ne işe yaradığı sınav odaklı biçimde incelenecektir. Bu başlık, sonraki portföy teorisi ve varlık fiyatlama modellerinin de temel zeminidir.

1) Risk Kavramı

Finansal anlamda risk, gerçekleşecek getirinin beklenen getiriden sapma olasılığıdır. Daha sade ifadeyle risk, yatırım sonucunun kesin olmaması ve farklı sonuçların mümkün olmasıdır.

Eğer bir yatırım aracının getirisi önceden tam olarak biliniyorsa risk yoktur ya da çok düşüktür. Ancak getiriler farklı senaryolara göre değişebiliyorsa belirsizlik artar ve risk doğar.

Kitaptaki yaklaşımda yatırımcıların risk ve beklenen getiriyi birlikte değerlendirdiği, riskin ise standart sapma veya varyans ile ölçüldüğü açıkça belirtilmektedir.

2) Tek Varlığın Riski Nasıl Ölçülür?

Tek bir finansal varlığın riskini ölçmek için en yaygın iki ölçü: varyans ve standart sapmadır. Bu ölçüler, getirilerin ortalama etrafında ne kadar dağıldığını gösterir.

Getiriler beklenen değer etrafında çok geniş yayılıyorsa risk yüksektir. Getiriler beklenen değer etrafında daha dar toplanıyorsa risk daha düşüktür.

3) Beklenen Getiri ile Sapmalar

Risk ölçümünün ilk adımı beklenen getiriyi bulmaktır. Daha sonra her senaryodaki getirinin beklenen getiriden ne kadar saptığı hesaplanır. Bu sapmaların karesi alınarak varyans, varyansın karekökü alınarak standart sapma bulunur.

Olasılıklarla çalışan bir modelde beklenen getiri:

Burada p_i senaryo olasılığı, R_i ise ilgili senaryodaki getiridir.

4) Tek Varlığın Varyansı

Varyans, getirilerin beklenen getiri etrafındaki dağılımının karesel ortalamasıdır. Tek varlık için varyans formülü:

Burada:

• σ² = varyans
• R_i = i. senaryodaki getiri
• E(R) = beklenen getiri
• p_i = i. senaryonun olasılığı

Varyans büyüdükçe risk artar.

5) Tek Varlığın Varyansı Örneği

Bir varlık için üç olası getiri senaryosu olsun:

• %25 olasılıkla getiri = %5
• %50 olasılıkla getiri = %10
• %25 olasılıkla getiri = %15

Önce beklenen getiri:

Sonra varyans:

6) Tek Varlığın Standart Sapması

Standart sapma, varyansın kareköküdür. Finans alanında çoğu zaman varyanstan daha çok standart sapma kullanılır. Çünkü standart sapma, getiri oranı ile aynı birimdedir ve bu yüzden yorumlanması daha kolaydır.

Yukarıdaki örnekte:

Yani bu varlığın tipik oynaklığı yaklaşık %3,54 düzeyindedir.

7) Risk-Getiri Dengesi

Finansın temel ilkelerinden biri, daha yüksek getiri beklentisinin çoğu zaman daha yüksek riskle birlikte gelmesidir. Yatırımcılar belirli bir risk düzeyinde en yüksek getiriyi veya belirli bir getiri düzeyinde en düşük riski tercih eder. Kitapta da yatırımcıların risk ve beklenen getiriyi birlikte değerlendirerek seçim yaptığı açıkça belirtilmektedir. :contentReference[oaicite:2]{index=2}

Bu nedenle yatırım seçiminde yalnızca getiriye değil, getirinin ne kadar belirsizlik içerdiğine de bakılır.

8) Riskten Kaçınma ve Yatırımcı Davranışı

Finans teorisinde yatırımcıların çoğu riskten kaçınan bireyler olarak kabul edilir. Bu yaklaşımda yatırımcı, aynı beklenen getiri düzeyinde daha az riskli olan yatırımı tercih eder. Ya da aynı risk düzeyinde daha yüksek getiri sunan yatırımı seçer.

Kitapta bu yaklaşım riskten kaçınma ilkesiyle ve etkin sınır mantığıyla ilişkilendirilmektedir. :contentReference[oaicite:3]{index=3}

9) Normal Dağılım Varsayımı

Risk analizinde çoğu zaman getirilerin yaklaşık normal dağıldığı varsayılır. Bu varsayım, getirilerin büyük kısmının ortalama etrafında toplandığını ve uç değerlerin daha seyrek oluştuğunu kabul eder.

Normal dağılım varsayımı altında:

• Getirilerin önemli kısmı ortalama çevresinde toplanır
• Standart sapma, oynaklığın temel ölçüsü olarak anlam kazanır
• Risk aralıkları yaklaşık olasılıklarla yorumlanabilir

Sınavda bu varsayım çoğu zaman teorik yorum sorularında karşına çıkar.

10) Yatırım Araçlarının Risk Özellikleri

Yatırım araçları aynı risk düzeyine sahip değildir. Genel olarak:

• Mevduat ve kısa vadeli devlet iç borçlanma araçları daha düşük riskli kabul edilir
• Tahviller faiz ve kredi riski taşır ancak çoğu durumda pay senetlerinden daha düşüktür
• Pay senetleri daha yüksek fiyat oynaklığı nedeniyle genellikle daha risklidir
• Türev araçlar kaldıraç etkisi nedeniyle daha yüksek risk taşıyabilir

Bu yüzden yatırım aracı seçimi yapılırken beklenen getiri ile risk düzeyi birlikte değerlendirilmelidir.

11) Sınav Tipi Kısa Stratejiler

• Önce beklenen getiriyi bul.
• Sonra her senaryo için sapmayı hesapla.
• Sapmaların karesini al ve olasılıklarla çarp.
• Toplayınca varyansı, karekök alınca standart sapmayı bul.
• Yorum sorularında daha yüksek standart sapma = daha yüksek risk mantığını unutma.

12) Çözümlü Kısa Örnekler

Örnek 1: İki olası durum olsun: %50 olasılıkla %8, %50 olasılıkla %12 getiri. Beklenen getiri nedir?

Örnek 2: Yukarıdaki veride varyans nedir?

Örnek 3: Standart sapma kaçtır?

Final Özet (Sınavlık)

• Risk, getirinin beklenen değerden sapma ihtimalidir.
• Tek varlık riskinin temel ölçüleri varyans ve standart sapmadır.
• Varyans formülü: σ² = Σ[p_i × (R_i - E(R))²]
• Standart sapma = varyansın kareköküdür.
• Standart sapma arttıkça risk artar.
• Yatırımcılar genellikle aynı getiride daha düşük riskli yatırımı tercih eder.
• Risk-getiri dengesi finansın temel ilkelerindendir.
• Normal dağılım varsayımı, getirilerin ortalama çevresinde toplandığını kabul eder.
• Riskli yatırım araçları arasında pay senetleri ve türev ürünler daha yüksek oynaklık gösterebilir.
• Bu bölüm, portföy teorisi ve varlık fiyatlama konularının temelidir.